电感滤波器是一种常用的电路元件，用于将某个频段内的信号从一个电路中分离出来或将其从另一个电路中阻挡。
电感滤波器由一个或多个电感和一个或多个电容组成。
下面是一个典型的电感滤波器的等效电路图：
[asy]
import graph;
size(200pt);
pair L1 = (0,0);
pair C1 = (2,0);
pair R1 = (4,0);
draw(L1–C1–R1–cycle);
draw((-1,0)–(-1,1)–(5,1)–(5,0));
draw((-1,1)–(5,1));
label(“$L$”, L1, W);
label(“$C$”, C1, E);
label(“$R$”, R1, E);
label(“$V_s$”, (-1,1), W);
label(“$V_o$”, (5,1), E);
[/asy]
在这个电路中，$V_s$是输入电压，$V_o$是输出电压，$L$是电感，$C$是电容，$R$是负载电阻。
我们可以使用电路分析方法来求出输出电压 $V_o$。
首先，我们可以使用 Kirchhoff 电路定律 (KCL) 来写出输入节点的电流守恒方程：
$$I_{in} = I_L + I_C$$
其中 $I_{in}$ 是输入节点的电流，$I_L$ 和 $I_C$ 分别是电感和电容的电流。
然后，我们可以使用 Kirchhoff 电动势定律 (KVL) 来写出输入回路的电动势守恒方程：
$$V_s = V_L + V_C$$
其中 $V_s$是输入电压，$V_L$ 和 $V_C$ 分别是电感和电容的电动势。
我们还可以使用电感和电容的电气特性来求出 $I_L$ 和 $I_C$：
$$I_L = L \frac{dI_L}{dt}$$
$$I_C = C \frac{dV_C}{dt}$$
将这两个方程代入到 $I_{in} = I_L + I_C$ 中，得到：
$$I_{in} = L \frac{dI_L}{dt} + C \frac{dV_C}{dt}$$
同时，我们还可以用 $V_s = V_L + V_C$ 来求出 $V_L$ 和 $V_C$：
$$V_L = L \frac{dI_L}{dt}$$
$$V_C = V_s – L \frac{dI_L}{dt}$$
将这两个方程代入到 $I_L = \frac{V_L}{L}$ 和 $I_C = \frac{V_C}{C}$ 中，得到：
$$I_L = \frac{L}{L} \frac{dI_L}{dt}$$
$$I_C = \frac{V_s – L \frac{dI_L}{dt}}{C}$$
将这两个方程代入到 $I_{in} = I_L + I_C$ 中，得到：
$$I_{in} = \frac{dI_L}{dt} + \frac{V_s – L \frac{dI_L}{dt}}{C}$$
将 $I_L$ 移到左边，得到：
$$\frac{dI_L}{dt} + \frac{L}{C} I_L = \frac{V_s}{C}$$
这是一个常见的常微分方程的形式，我们可以使用常见的方法来解决它。
设 $I_L = I_0 e^{st}$，代入到方程中得到：
$$sI_0 e^{st} + \frac{L}{C} I_0 e^{st} = \frac{V_s}{C}$$
化简得到：
$$(s + \frac{L}{C}) I_0 e^{st} = \frac{V_s}{